Main Takeaway

记录复变函数与积分变换这门课程的学习。此章介绍保角映射和拉氏变换—非常重要，且为相对独立的一部分，只需要掌握基本性质就能按套路解题。

保角映射

复变函数可以视为复平面到复平面的映射。本章从导数的几何意义引出保角映射的概念,并介绍几个初等函数的保角映射，分式线性映射。研究映射的几何意义

概念

神！：复变函数与积分变换简明笔记(八)：保形映射（共形映射） - 知乎 (zhihu.com)

导数的几何意义：!!!导数的模是伸缩率，角度是转动角
伸缩率
保角性：在固定点作同一映射变换，不同函数的转动角相同，所以相对夹角不变
设f(z)是区域D到区域G的双射，且在D内每一点有保角+伸缩率性质（解析即满足），则称f(z)是D到G的保角映射（共形映射）。若f(z)在D内任一点的某邻域是保角的，则称f(z)在D内是局部保角映射。

保角映射的逆映射及复合映射仍是保角映射
注意上述框中的旋转角方向，如果为逆时针，则称是第一类保角映射，如果为顺时针，则称为第二类保角映射（伸缩率不变，夹角绝对值不变方向相反）。通常来说，一个第一类保角映射函数的共轭，即为第二类保角映射。
逆映射的存在性：如果能够把区域保角地、一一对应地映射成区域，则其反函数能够把保角地、一一对应地映射成区域。并且，及其反函数可由此推得是单值且解析的函数

要找 D 和 G 之间的映射，不必死盯着这两个区域看——不妨把它们都映射成某一标准图形，然后利用求反函数的方式来求这两个区域之间的映射
黎曼映射定理（映射的存在且唯一）：设D，G是不同于复平面C的单连通区域，任取 $则存在唯一从到的保角映射$

存在且唯一
边界对应原理：设简单闭曲线围成的区域，则到的保角映射可以延拓为到的连续双射，且将的正向映为的正向。

如何寻找：只需看区域的边界上的一些点

这些定理的启发：复变函数与积分变换简明笔记(八)：保形映射（共形映射） - 知乎 (zhihu.com)

若干初等函数所确定的映射

整线性映射：——具有保圆性（广义圆：直线或圆）
倒数映射：，映射除原点外处处保角（作图找映射很重要，先圆对称再实轴对称）——两个对称的复合

倒数映射是扩充复平面到扩充复平面间的一对一映射

对称的定义： $关于圆周曲线对称，共线，且$

规定，原点的对称点是无穷远处。

幂函数映射： $为整数，$ ，幂函数映射有局部保角性，幕函数的逆映射为根式函数（固定k，一一对应，k=0的单值分支称为的主支
指数映射：全平面保角， $，则$
对数映射：指数映射的反函数，k=0为主支

分式线性映射

复变函数与积分变换简明笔记(八)：保形映射（共形映射） - 知乎 (zhihu.com)

$，逆映射也是分式线性映射$

Note:分式线性映射的逆映射也是分式线性映射（双向保角映射）
无穷远点仅为保证分式线性映射而引入，其模、幅角均无意义

性质

保角性：补充无穷远点处的夹角等于映射到原点的夹角
保圆性：保圆性指分式线性映射将 z 扩充复平面上的圆映射成 w 扩充复平面上的圆。

如果扩充复平面上的圆（或直线）上的某点被映射成了无穷远点，那么 w 扩充复平面上的圆将会变为直线，否则，它将映射成为半径有限的圆周。
保对称点性：

两圆相交的映射，若有∞点，注意是否为交点（两个交点一个在∞，一个映射为交点——因为两条直线圆只有一个交点）

在解决实际问题中，我们通常只需要用到保角性+保圆性+边界对应原理：

事实上只有三个相互独立的常数。所以理论上，我们在求所需要的分式线性映射时，最多只需要找到三对点的映射关系就可以唯一确定分式线性映射——详细地来说，我们只需要两个点+任意一对点就可以写出分式线性映射。这两个点为分子的零点和分母的零点，它们被映射到了象平面的零点和无穷远点。而另外一对点被用作调整整个映射的系数。

第一步是“找到在象平面和原象平面上相同的角”（保角）

两个重要的分时线性映射

将上半平面映成单位圆内部的分式线性映射：
将单位圆内部映射为单位圆内部：

一个常见的映射思路如下：

做题

将带域映射为无穷平面——e；如果是上半平面，记得让带域的宽为0--
映射为圆，找圆心
分式线性映射就两类：交点，无穷远的点，简单的点
- 给定区域和保角映射，求其象区域
- 求一保角映射，把一已知区域映射为一已知的象区域
证明映射将一个z范围映射到另一个w范围，即将代入z的范围求出来w的范围（）
半圆不能直接映射为圆，可能有某些边没有被包含；

思路：拉直边界（先变成角域——取一个点为0，一个点为无穷，再取一个点判断位置）；先变为上半平面，再映射成单位圆
$$关于圆的对称点是圆心

给两个点，通过对称获得第三个点

拉普拉斯变换

公式+证明都有：公式墙(1)——Laplace Transform(拉普拉斯变换) - 知乎 (zhihu.com)

拉普拉斯变换（象函数），

拉普拉斯逆变换（象原函数）

u(t)时单位阶跃函数

一般t指时间，在不引起混淆时，规定： $常省略$

(4 封私信 / 52 条消息) 傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？ - 知乎 (zhihu.com)

理解：

拉氏变换其实就是傅里叶变换乘一个（衰减因子）,因为有些信号增长得太快，要将线掰弯

当然这个扩展也是付出了代价的，只能在上积分，不过影响不大：

x在应用中，一般代表时间，时间是非负的
可以通过双边拉普拉斯变换延展到负轴

存在性定理

拉氏变换的存在性定理（LT存在定理）：f(t)满足

在的任意有限区间上分段连续
$存在$

则在半平面上存在且解析（为f(t)的增长指数）

这些条件是充分而不必要的

一些公式

Gamma函数的那些事儿（1）——定义 - 知乎 (zhihu.com)

$为非负整数时，$

欧拉公式代入

$实数$
$实数$
$实数$
$实数$
周期函数： $连续则等比数列求和为公比，后面为首项$
如何解决ln：

或者利用微分性质

$不能省略$

基本性质

拉普拉斯变换性质 - 知乎 (zhihu.com)

线性性质
平移性质：（延时）

$时移性质频移性质$

不能在延时中省略;常用来求周期函数
微分性质：

$，$
积分性质：

$右边要收敛$ ，s=0时非常有用

积分和微分转化为线性
乘对应微分，除对应积分

极限性质：

初值定理 初值定理要求：

1、f(x)连续可导;

2、不包含任何阶次的冲激函数:

3、F(s)是真有理分式;

终值定理 终值定理要求：

sF(s)函数终值存在，即sF(s)的极点在平面
卷积性质

$卷积定理：卷积的定义式：因为所以$

直接算卷积就是分部积分搞定

对于卷积的理解：
卷积可以理解为系统对当时时刻之前的所有输入的响应的叠加，举个例子，就好比往水中扔一颗石头，水面会产生涟漪，过了一段时间，又扔了一颗石头下去，又会产生水波，这时候两个水波相碰，互相叠加产生了一个新的效果就是卷积
相似性质：

相似性质又称尺度变换

式子内加减就是平移，相互加减就是线性，乘除t就是微积分，乘除常数就是相似
再记一些基本公式，直接拿下
两个式子相乘（不是卷积）则直接用定义

拉氏逆变换

即求，有几种方法

分解法：拆分为几个基本函数

和泰勒展开差不多，凑！求导之类的都可以
反演公式：f(t)满足存在定理条件，则在f(t)的任意连续点处，都有

其中积分沿任一直线的主值积分

大小圆弧/Jordan引理-复变函数笔记 - 知乎 (zhihu.com)
利用留数计算象原函数：

若F(s)的全部奇点都在内，且当s在上趋于无穷时，F(s)趋于零，则

条件必须满足，有些不满足考虑其他方法
卷积法：卷积定理得出两个象原函数再算卷积

卷积有积分不喜欢
展开定理： $如果在$ 内洛朗展开式为则
定义和性质

分部分式拆项很好用

拉氏变换的应用

解微分方程

y(t)常微分线性微分方程的初值问题，经过拉氏变换(微分性质)Y(s)（此时仅有一个Y(s）,解出Y(s)再回到y(t)
信号的拆分与叠加！！！

最后一个sin只有0到pi，叠加将后面消去（重要思想）

做题

当出现 $，用阶跃函数来表达$

Immortal-Fates

复变函数与积分变换（4）