Main Takeaway

记录复变函数与积分变换这门课程的学习。此章介绍级数和留数——非常重要，级数和vjf里面的级数差不多，重点掌握各种留数如何计算。属于承上启下的地位。

级数

数学物理方法学习小记（3）——复数级数 - 知乎 (zhihu.com)

就是vjf级数的拓展，再复习复习

复数项级数与幂级数

收敛则实部和虚部分别收敛

Abel定理：一点收敛内部收敛；一点发散外部发散——收敛范围为圆域，收敛半径R，收敛圆

幂函数和函数的解析性：收敛圆内的和函数f(z)在圆内解析，可逐项求导，可逐项积分

台劳（Taylor）定理:

在范围内解析，则一定可以展开成唯一幂级数（证明见书上）

Tips:除法用待定系数法，然后把分母乘过去

求收敛半径：

找最近的奇点的距离

解析函数零点的孤立性及唯一性定理

孤立零点
单零点
m级零点：不恒为零的解析函数f(z)以为其m级零点的充要条件

函数y在x→x0处是m阶无穷大，则称x=x0是函数y的m阶极点。

显然，若x=x0是函数y的m阶零点，则x=x0是函数1/y的m阶极点。
孤立零点定理：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。
- 推论1：存在一个点列,s.t. $，则$
- 推论2：
- 推论3：洛必达
解析函数的唯一性定理：两个解析函数在D内的某一部分相等，则在D内恒等。

Laurent级数

看了直接懂：复变函数（3）——复级数，泰勒级数，洛朗级数 - 知乎 (zhihu.com)

泰勒级数的收敛圆只能扩张到最近的一个奇点为止，那么其它区域有没有办法展开呢？有！洛朗级数解答了这个问题。

这玩意相当于泰勒级数的推广，也可以在实函数上用。总而言之，洛朗级数展开是目前最强的展开了，只要复变函数在某环域上解析，都可以展开！

皮瑟级数应该是比洛朗级数更强的展开级数???

Laurent定理

是什么：设函数 f(z) 在以 b 为圆心的环形区域内单值解析，则对于环域内的任意点 z ， f(z) 都可以用幂级数展开为 $，$ 其中 C 是环域内绕内周一周的任意一条闭合曲线

由来：

此外被称为 f(z) 的正则部分（normal part）（有时也称解析部分），其在内绝对收敛。而被称作主要部分，简称主部（principal part），其在外绝对收敛。两部分合起来就构成了洛朗级数。

对于洛朗展开来说，即使是正幂项的系数也不等于

f(z) 在內圆内不解析，一般而言其在上有奇点，而 b 点可能是奇点也可能是解析点

如果只有环心 b 是的奇点，那么 R_1 可以任意小。当时称该洛朗级数为 f(z) 在孤立奇点的邻域内的洛朗展开式

为什么：复变函数（3）——复级数，泰勒级数，洛朗级数 - 知乎 (zhihu.com)

推论：

孤立奇点：f(z)在的近旁内解析，则为f(z)的孤立奇点

做题

展开成laurent级数时，记得把分母大的那个提出来

留数

复变函数（4）——孤立奇点，留数，无穷远点 - 知乎 (zhihu.com)

孤立奇点

是孤立奇点，则在某个去心邻域展开为的罗朗级数

可去奇点：罗朗主部为0（可去奇点对函数没啥影响，即约等于Taylor展开，主部是n为负的部分）
m级极点：主部只有有限项，负幂级数最大为不为零

除极点外无其它奇点的函数称为亚纯函数
本性奇点：主部有无穷多

因为用Laurent展开求 $，没什么其他好办法了$

复变函数（4）——孤立奇点，留数，无穷远点 - 知乎 (zhihu.com)——对每种奇点的理解

不是所有的奇点都是孤立的，

性质

可去奇点：

设是孤立奇点：
1. 是可去奇点
2. 存在=
3. $在$ 的一个邻域内有界

$看书$

$是$ 的m级极点可以表示为在$ z_0 $点解析，且$ (z_0)!=0$

推论： $是$ 的m级极点 $是$ 的m级零点

是孤立奇点，则 $是$ 的极点

在复分析中，对于在Z平面上除极点外别无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数

对于，如果在处均解析，且分别是 $的、级零点$ 则——多项式，可以直接看
- $是的可去奇点$
- $是的级极点$
本性奇点：

设是孤立奇点： $是$ 的本性奇点不存在（也不等于）
m级零点——运用零点判断极点

函数在无穷远处的性态

取倒数，转化为在0处的极点判断

留数定理

复变函数（4）——孤立奇点，留数，无穷远点 - 知乎 (zhihu.com)

留数Residue：把函数在某个孤立奇点的去心邻域内洛朗展开，称负一次方项的系数为在点的留数，记作，即

有了留数，我们就可以给出留数定理：

留数定理：设函数在正向闭合路径 C 内除有限个孤立奇点之外处处解析，则

留数定理的本质就是柯西积分定理，即解析函数的积分与路径无关。

留数计算

可去奇点留数为0（可去奇点“不当做奇点”，周围路径根据柯西积分定理=0）
为一级极点,
那么，m阶极点的留数怎么求呢？首先，化极点为可去奇点，令，然后求泰勒级数的系数。求哪一个系数？我们要求的是 f(z) 的，也就是要求的，有 . 总结一下：

若为的m阶极点，则先乘把极性消去

上述定理中的极限符号，可以理解为是“给可去奇点一个面子”。
推论1： $在点解析，则$
推论2： $为的一级极点，是的单极点则$
推论3：（更一般） $是的级零点是的级零点是则的单极点则$

如果C内奇点太多，可以现在圆环上洛朗展开再逐项积分

本性奇点的留数计算只能展开看

留数定理的应用

将一些实数领域的定积分（不好算）转化为闭围道上的复积分来计算

型积分（有理函数且在上连续）

则 $在单位圆内极点处的留数$ 用 $代入即可$

其中

仅适用于区间长度为的积分

型积分，在复平面上只有有限个极点，其余部分均解析，且这些极点不在实轴上

若存在，则 $在上半平面内下半平面（乘）内极点处的留数$

特别的对 $只需的最高项幂次的最高项幂次$
型积分，在复平面上只有有限个极点，其余部分均解析，且这些极点不在实轴上

若存在，则 $在上半平面内下半平面内极点处的留数$

后面两个要保证范围是从

做题

就是判断奇点的类型，利用相应的方法进行计算

判断奇点的类型：先把拆开的多项式合并判断类型

再拆开算留数（简化计算）
证明是本性奇点：展开有无穷多个负幂项 or 该点极限不存在
本性奇点

Immortal-Fates

复变函数与积分变换（3）