Main Takeaway

记录复变函数与积分变换这门课程的学习。此章介绍解析函数和复变函数的积分——非常重要，主要是要理解解析函数的概念，其他就是计算的方法。

解析函数

复变函数

：对每一个z，若w唯一，f是单值函数；若w不唯一，f是多值函数

复变函数无法在三位空间中用图表示（四维），常视为两个复平面的变换or映射

Tips:函数（分析）、映射（几何）、变换（代数）可视为同一个概念。

相函数——值域

极限与连续

极限/连续的定义与vjf二元函数差不多

定理：

极限定义:

$为函数当趋于时的极限使得当且时记作$

Tips: $函数在点可以无定义$

如何证明极限存在? $放大技巧$
如何证明极限不存在？选择不同的路径

连续定义:

$在连续在集合上确定是的聚点且在上连续在中每一点连续$

定理：如果函数在有界闭区域上连续，则：
- $在上必有界$
- $在上必能取到最大值与最小值$
- $在上必一致连续$
极限与连续关系定理:

$在处连续和连续$

若
类似的洛必达法则

解析函数与调和函数的关系

复变函数（1）——导数、解析与保形，柯西-黎曼方程的可视化直观理解 - 知乎 (zhihu.com)

可导与可微

转动角和伸缩率

结论与一元实函数是一样的

解析函数

定义

$如果函数在点点的邻域内处处可导，则称在点解析$
$如果函数在区域内的每一点解析则称在区域内解析或者称是内的解析函数$

奇点： $如果函数在点不解析则称为的奇点处不可导可导但任一邻域都有的不可导点$

注：一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析，所有解析点的集合必为开集。
开集：站在开集中的任何一个位置，往任何方向走任意充分小的距离，你仍然在开集内。开集 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)，开集上的所有点都是内点

性质

在区域D内解析的两个函数的和差积商在D内解析
$在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，且对内的没一点，函数的值都属于，则复合函数在内解析$
如果函数f(z)在某个区域解析，则这个区域中的任意两条直线在经过映射f之后会保持夹角不变（除导数为0的情况），我们称此时f(z)具有保角性。保角性加伸缩率不变性称为保形性。

如何判断是否解析

区域解析的充要条件：可微+满足柯西-黎曼方程（C-R条件）——满足的地方即可导

$是$ 的共轭调和函数 $条件$ 推论：

what is it saying：见上
why is it true：解析函数的充要条件 - 知乎 (zhihu.com)，解析函数几个等价条件的证明（感觉从不同的几个方面来理解的）(1 封私信 / 32 条消息) 复变函数解析的充要条件的证明？ - 知乎 (zhihu.com)
when is it useful：可微性（任意阶可微？？？），复数领域只用满足实数领域的条件

调和函数

定义

若二元实函数 $在区域内有连续二阶偏导数，且满足方程$ 则称 $为区域内的调和函数$

用处

物理上可以用来描述一个稳定的状态，比如定常的温度场，自由电场电势，引力势能等等。数学上，比如说调和函数直接对应到复变里面的全纯函数，微分几何里面调和函数对应的是极小曲面，黎曼几何里调和函数可以推广到调和形式，然后就可以有Hodge 分解……上面每一个都可以展开，而且我强烈感觉我没想全……简直太有意义了——from 知乎

定理

解析函数在D内的实部、虚部均为调和函数（逆定理不成立）

我们称u,v为一对共轭调和函数（由C-R条件相联系）

当区域是单连通区域时，调和函数的共轭调和函数一定存在，对一般区域不成立——怎么求共轭调和函数（知u求v，满足C-R条件——复习一下ODE，任意常数C）

Tips:拉普拉斯方程也称为调和函数

先验证是否是调和函数
再求另一个（偏积分法，全微分法）

初等解析函数

指数函数

定义： $假设则$

性质：

是周期函数，其周期为（n!=0）

对数函数

Tips:因为指数函数是周期性的，所以不存在单值反函数

定义：对数函数是指数函数的反函数 $称为的对数函数是多值函数$ $，单值化处理$

$它是平面上除到带域的映射$

$这样对数函数可以写为对应的称为对数函数的第个分支，$

$为对数函数主支$

对数函数常见性质与实数范围没区别（）

再除去原点和复实轴的复平面上，处处连续，任意给定的k，为一个单值解析分支

幂函数

定义：设z！=0， $，由于的多值性，也是多值，称为的主值$

$为整数，为单值$
$为有理数，为有限多值个$
$为无理数与虚部不为零的复数时，为有无穷多值$

三角函数和双曲函数

正弦函数：
余弦函数：
双曲正弦函数：
双曲余弦函数：

均为整函数

性质：

sin,cos 以为周期，sh,ch以为周期
！！！ $不是有界函数$

复变函数的积分

定义：分割、近似、求和、取极限（唯一）

围道积分：闭曲线

复积分与曲线积分的关系

设函数在曲线C上连续，则可积，且：

$可看作$

参数法(看看曲线积分怎么算)

柯西积分定理

复变函数（2）——积分，柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式 - 知乎 (zhihu.com)

设函数f(z)在封闭曲线C上及其所包围的单连通区域（多连通也行）D内解析，则

证明：Green公式+C-R条件

推论：

如果f在单连通区域D内解析，则f(z)在D内任意分段光滑曲线C上的积分与路径无关，只与C的起点、终点有关。证明：取两条不同路径，形成闭合曲线
多连通区域中 $，$ ，证明：在内部的孔与外部C连一条线用线割开区域（内部的孔就消失了）(见书)

形变公式（就是内部只有一个孔时，常取圆，转换为好算的路径）：

Tips:上述任意一条路径均沿逆时针方向
$在闭曲线内部且在闭曲线外部或$

原函数定理

若f(z)在单连通区域D内解析，积分与路径无关：（变上限函数）在D内也解析，且

证明：由定义出发

解析函数的导数必定解析：解析函数的导函数仍然解析_解析函数的导数仍为解析函数-CSDN博客

一定要注意的是，所谓解析函数，无非就是在某个区域内可导的函数，解析这个概念与区域是不可分的。

柯西积分公式

是什么：设函数在有界闭区域上解析， $为的边界$ 正向，则
- D为单连通或多连通区域，定理都成立
为什么：见书，不解析的点的范围可以无限收缩下去，中间取模放大
有什么用：在区域D及其边界C上解析的函数f(z)，在区域D内任意一点处的函数值可以由它的边界上的值完全确定。它描述了函数的内部性质完全可以由边界上的值决定。

先看有几个起点，就分几部分算，路径随便取，我们只需要那个的点就可以了

解析函数的积分平均值定理

柯西积分公式的特殊情况

如果曲线C是以为中心、为半径的圆周，函数 $在$ 上解析，则：

表示f(z)在圆心处的值等于它在圆周上的积分平均值。

解析函数的无穷可微性

设函数在有界闭区域上解析， $为的边界$ 正向，则任意阶导数存在，且

Tips:使用从右到左，实函数不具备此性质。求导别忘记！！！

柯西不等式

设函数f(z)在闭圆盘上解析，则有

刘维尔定理Liouville

理解：如何理解刘维尔定理？ - 知乎 (zhihu.com)

有界整函数f(z)必为常数

常用反证法，构造辅助函数，取e可以将虚部限制在1内

做题

$在闭曲线内部且在闭曲线外部或$
几个定理有什么用处好好理解一下
一个变换：

Immortal-Fates

复变函数与积分变换（2）

Main Takeaway

解析函数

复变函数

极限与连续

解析函数与调和函数的关系

可导与可微

解析函数

调和函数

初等解析函数

指数函数

对数函数

幂函数

三角函数和双曲函数

复变函数的积分

复积分与曲线积分的关系

柯西积分定理

原函数定理

柯西积分公式

解析函数的积分平均值定理

解析函数的无穷可微性

柯西不等式

刘维尔定理Liouville

做题