Main Takeaway

记录复变函数与积分变换这门课程的学习。此章为预备知识。

预备知识

• 定义：

• 共轭复数：

• 复数的三种表示：

  • ，
  • 三角函数形式：
  • 指数形式：

• 复数域C=全体复数（+，-，*，），常见性质：代数恒等式仍成立

• 复数的乘积和商：

  • 乘积：,辐角具有多值性
  • 商：

• 复数的乘幂和方根：

  • 乘幂： ,de Moivre公式：
  • 方根：，他们是内接于圆周的正n边形的n个顶点

• 复球面与无穷远点：

  复球面可以理解为复平面的单点紧致化（one point compactification）我们知道，紧致的东西总是好东西。

  

  我们引入了一个理想的点与北极点N相对应，称为无穷远点，球面S为复球面与一一对应

• 复平面上的点集

  • 邻域：
  • 简单曲线：线不交叉则为简单有向曲线C，反方向则为C的反向曲线记为,首尾重合则为简单闭曲线
  • 光滑曲线：if 存在、连续且不全为0则为光滑（闭）曲线，还有分段光滑曲线
  • 单连通区域：复平面上一个区域D，若任意在D内的简单闭曲线内部仍属于D，则D为单连通区域（内部无洞），否则为多连通区域（有洞）